Плюккеровы координаты

Плюккеровы координаты — координаты (наборы чисел), определяющие подпространства [math]\displaystyle{ M }[/math] (произвольной размерности) векторного или проективного пространства [math]\displaystyle{ L }[/math]. Являются обобщением однородных координат точек проективного пространства и также определены с точностью до умножения на произвольный ненулевой множитель. Впервые введены Плюккером в частном случае проективных прямых в трёхмерном проективном пространстве, что соответствует случаю [math]\displaystyle{ \dim M=2 }[/math] и [math]\displaystyle{ \dim L=4 }[/math] для векторных пространств.

Определение в координатах

Пусть [math]\displaystyle{ M }[/math] — [math]\displaystyle{ m }[/math]-мерное подпространство [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерного векторного пространства [math]\displaystyle{ L }[/math]. Для определения плюккеровых координат подпространства [math]\displaystyle{ M }[/math] выберем произвольный базис [math]\displaystyle{ e_1,\;\ldots,\;e_n }[/math] в [math]\displaystyle{ L }[/math] и произвольный базис [math]\displaystyle{ a_1,\;\ldots,\;a_m }[/math] в [math]\displaystyle{ M }[/math]. Каждый вектор [math]\displaystyle{ a_i }[/math] имеет в базисе [math]\displaystyle{ e_1,\;\ldots,\;e_n }[/math] координаты [math]\displaystyle{ (a_{i1},\;\ldots,\;a_{in}) }[/math], то есть [math]\displaystyle{ a_i=a_{i1}e_1+\ldots+a_{in}e_n }[/math]. Записывая координаты векторов [math]\displaystyle{ a_1,\;\ldots,\;a_m }[/math] в виде строк, получим матрицу

[math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix}, }[/math]

ранг которой равен [math]\displaystyle{ m }[/math]. Обозначим через [math]\displaystyle{ M_{i_1,\;\ldots,\;i_m} }[/math] минор матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math], состоящий из столбцов с номерами [math]\displaystyle{ i_1,\;\ldots,\;i_m }[/math], принимающими значения от [math]\displaystyle{ 1 }[/math] до [math]\displaystyle{ n }[/math]. Числа [math]\displaystyle{ M_{i_1,\;\ldots,\;i_m} }[/math] не независимы: если набор индексов [math]\displaystyle{ (i_1,\;\ldots,\;i_m) }[/math] получен из [math]\displaystyle{ (j_1,\;\ldots,\;j_m) }[/math] с помощью перестановки [math]\displaystyle{ \sigma\in S_m }[/math], то имеет место равенство [math]\displaystyle{ M_{i_1,\;\ldots,\;i_m}=\pm M_{j_1,\;\ldots,\;j_m} }[/math], где знак «плюс» или «минус» соответствует тому, является ли перестановка [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] чётной или нечётной. Рассматриваемая с точностью до умножения на общий ненулевой множитель совокупность [math]\displaystyle{ C_n^m }[/math] чисел [math]\displaystyle{ p_{i_1,\;\ldots,\;i_m}=M_{i_1,\;\ldots,\;i_m} }[/math] для всех упорядоченных наборов индексов [math]\displaystyle{ i_1\lt \ldots\lt i_m }[/math], принимающих значения от [math]\displaystyle{ 1 }[/math] до [math]\displaystyle{ n }[/math], называется плюккеровыми координатами подпространства [math]\displaystyle{ M }[/math].

Свойства

1. Независимость от выбора базиса.

Если в подпространстве [math]\displaystyle{ M }[/math] выбран другой базис [math]\displaystyle{ a'_1,\;\ldots,\;a'_m }[/math], то новый набор плюккеровых координат [math]\displaystyle{ p'_{i_1,\;\ldots,\;i_m} }[/math] будет иметь вид [math]\displaystyle{ p'_{i_1,\;\ldots,\;i_m}=c\cdot p_{i_1,\;\ldots,\;i_m} }[/math], где [math]\displaystyle{ c }[/math] — некоторый ненулевой множитель. Действительно, новый базис связан со старым соотношениями [math]\displaystyle{ a'_i=a'_{i1}a_1+\cdots+a'_{im}a_m }[/math], и определитель матрицы [math]\displaystyle{ (a'_{ij}) }[/math] отличен от нуля. Согласно определению плюккеровых координат и теореме об определителе произведения матриц, имеем [math]\displaystyle{ p'_{i_1,\;\ldots,\;i_m}=c\cdot p_{i_1,\;\ldots,\;i_m} }[/math], где [math]\displaystyle{ c=\det(a'_{ij}) }[/math].

2. Грассманиан.

Ставя в соответствие каждому [math]\displaystyle{ m }[/math]-мерному подпространству [math]\displaystyle{ M }[/math] набор его плюккеровых координат [math]\displaystyle{ p_{i_1,\;\ldots,\;i_m} }[/math], мы сопоставляем [math]\displaystyle{ M }[/math] некоторую точку проективного пространства [math]\displaystyle{ P }[/math] размерности [math]\displaystyle{ C_n^m-1 }[/math]. Построенное таким образом отображение [math]\displaystyle{ g }[/math] инъективно, но не сюръективно (то есть его образ не совпадает со всем пространством [math]\displaystyle{ P }[/math]). Образ множества всех [math]\displaystyle{ m }[/math]-мерных подпространств [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерного пространства при отображении [math]\displaystyle{ g }[/math] является [math]\displaystyle{ m(n-m) }[/math]-мерным проективным алгебраическим многообразием в [math]\displaystyle{ P }[/math], называемым многообразием Грассмана или грассманианом и обозначаемым [math]\displaystyle{ G(m,\;n) }[/math] или [math]\displaystyle{ \mathrm{Gr}_m(L) }[/math].

3. Соотношения Плюккера.

Критерием, с помощью которого можно определить, принадлежит ли данная точка проективного пространства [math]\displaystyle{ P }[/math] грассманиану [math]\displaystyle{ G(m,\;n) }[/math], являются так называемые соотношения Плюккера:

[math]\displaystyle{ \sum_{r=1}^{m+1}(-1)^r p_{j_1,\;\ldots,\;j_{m-1}k_r}\cdot p_{k_1,\;\ldots,\;\breve{k_r},\;\ldots,\;k_{m+1}}=0,\quad\forall\,(j_1,\;\ldots,\;j_{m-1}),\quad\forall\,(k_1,\;\ldots,\;k_{m+1}), }[/math]

где все индексы в наборах [math]\displaystyle{ (j_1,\;\ldots,\;j_{m-1}) }[/math] и [math]\displaystyle{ (k_1,\;\ldots,\;k_{m+1}) }[/math] принимают значения от [math]\displaystyle{ 1 }[/math] до [math]\displaystyle{ n }[/math], знак [math]\displaystyle{ \breve{} }[/math] обозначает пропуск стоящего под ним индекса. Данная сумма получается, если из совокупности [math]\displaystyle{ (k_1,\;\ldots,\;k_{m+1}) }[/math] выбрасывается поочередно по одному индексу и этот индекс приписывается справа к набору [math]\displaystyle{ (j_1,\;\ldots,\;j_{m-1}) }[/math], потом два получившихся числа [math]\displaystyle{ p_{\alpha_1,\;\ldots,\;\alpha_m}=M_{\alpha_1,\;\ldots,\;\alpha_m} }[/math] перемножаются (заметим, что эти числа являются минорами матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math], но не обязательно являются плюккеровыми координатами, так как наборы их индексов не обязательно упорядочены по возрастанию) и затем берётся сумма всех таких произведений с чередующимися знаками. Соотношения Плюккера выполнены для каждого [math]\displaystyle{ m }[/math]-мерного подпространства [math]\displaystyle{ M\subset L }[/math]. И обратно, если однородные координаты [math]\displaystyle{ p_{i_1,\;\ldots,\;i_m} }[/math], [math]\displaystyle{ i_1\lt \ldots\lt i_m }[/math], некоторой точки проективного пространства [math]\displaystyle{ P }[/math] удовлетворяют этим соотношениям, то эта точка при отображении [math]\displaystyle{ g }[/math] соответствует некоторому подпространству [math]\displaystyle{ M\subset L }[/math], то есть принадлежит [math]\displaystyle{ G(m,\;n) }[/math].

На языке матриц это означает: если числа [math]\displaystyle{ p_{i_1,\;\ldots,\;i_m} }[/math] удовлетворяют соотношениям Плюккера, то существует матрица, для которой они являются минорами максимального порядка, а если нет, то не существует такой матрицы. Что решает задачу о возможности восстановления матрицы по её минорам максимального порядка, с точностью до линейного преобразования строк.

Пример

В случае [math]\displaystyle{ n=4 }[/math] и [math]\displaystyle{ m=2 }[/math] имеем [math]\displaystyle{ C_4^2=6 }[/math], и следовательно, каждая плоскость [math]\displaystyle{ M }[/math] в 4-мерном векторном пространстве имеет [math]\displaystyle{ 6 }[/math] плюккеровых координат: [math]\displaystyle{ p_{12} }[/math], [math]\displaystyle{ p_{13} }[/math], [math]\displaystyle{ p_{14} }[/math], [math]\displaystyle{ p_{23} }[/math], [math]\displaystyle{ p_{24} }[/math], [math]\displaystyle{ p_{34} }[/math]. Выбирая в плоскости [math]\displaystyle{ M }[/math] базис [math]\displaystyle{ a_1,\;a_2 }[/math] таким образом, что [math]\displaystyle{ a_1=e_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ a_2=e_2 }[/math], получаем матрицу

[math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \alpha & \beta \\ 0 & 1 & \gamma & \delta \\ \end{pmatrix}, }[/math]

откуда находим:

[math]\displaystyle{ p_{12}=1 }[/math], [math]\displaystyle{ p_{13}=\gamma }[/math], [math]\displaystyle{ p_{14}=\delta }[/math], [math]\displaystyle{ p_{23}=-\alpha }[/math], [math]\displaystyle{ p_{24}=-\beta }[/math], [math]\displaystyle{ p_{34}=\alpha\delta-\beta\gamma }[/math].

Очевидно, что имеет место соотношение

[math]\displaystyle{ p_{12}p_{34}-p_{13}p_{24}+p_{14}p_{23}=0 }[/math],

сохраняющееся при умножении всех [math]\displaystyle{ p_{i_1i_2} }[/math] на любой общий множитель, то есть не зависящее от выбора базиса. Это и есть соотношение Плюккера, определяющее проективную квадрику [math]\displaystyle{ G(2,\;4) }[/math] в 5-мерном проективном пространстве.

Литература

• Картан Э. Внешние дифференциальные системы и их геометрические проблемы. — М.: изд-во МГУ, 1962.
• Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении. — М.: Факториал, 1998.
• Ходж В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии. — Т. 1. — М.: ИЛ, 1954. (Здесь плюккеровы координаты названы грассмановыми).
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Физматлит, 2009.
• Casas-Alvero E. Analytic Projective Geometry. — : European Mathematical Society, 2014.